Tugas Kelompok 3 Matematika Informatika: Relasi Rekursi

1.Selesaikan relasi rekurensi an = 7an -1 , n > 1, a2= 98…..
a. an= 7n (2) , n > 1
b. an= 7n (1) , n > 0
c. an= 7n , n > 2
d. an = 7n (2) , n > 0
Jawab:
Untuk n = 1 maka a1 = 7 a0 a2 = 7 a1 = 7 (7 a0) = 72a0 dari a2 = 98 maka 98 = 49 a0
sehingga diperoleh a0 = 2. Jika relasi rekurensi tersebut dideretkan terus akan diperoleh :
a3 = 7 a2 = 7 (72 a0) = 73 a0 ……….dan seterusnya
sehingga penyelesaian umum dari relasi rekurensi di atas adalah:
an= 7n (2) , n > 0
=======================================================================
2. Diketahui : Suatu barisan c0, c1, c2, … didefinisikan secara rekursif sebagai berikut :
Untuk semua bilangan bulat k ≥ 2,
Ck = (ck-1 + k) (ck-2 + 1)
Dengan kondisi awal c0 = 1 dan c1 = 2.
Ditanya : Hitunglah c5 !
A.      C5 = 90
B.      C5 = 92
C.      C5 = 84
D.     C5 = 94
Oleh karena barisan didefinisikan secara rekursif, maka c5 tidak bisa dihitung secara
langsung, tetapi harus terlebih dahulu menghitung c2, c3 dan c4.

• c2 = c1 + 2 c0 + 1 =

2 + 2.1 + 1       = 5

• c3= c2 + 3 c1 + 1 =

5 + 3.2 + 1      = 12

• c4= c3 + 4 c2 + 1

12 + 4.5 + 1    = 33

• c5= c4 + 5 c3 + 1 =

33 + 5.12 + 1   = 94
Jadi, c5 = 94
=======================================================================
3. Mana diantara berikut yang merupakan solusi dari relasi rekursi dari :
an + 4 an-1 + 4 an-2 = 0…..
a. an(h) = (A1 nm-1 + A2 nm-2) a1n , an(h) = (A1 n + A2 ) (-2)n
b. an(h) = (A1 n + A2 ) (-2)n .
c. an(h) = (A1 nm-1 + A2 nm-2) a1n ,
d. an(h) = (A1 nm-1) an(h) = (A1 n + A2 ) (-2)n .
Jawab :
Relasi rekurensi homogen : an + 4 an-1 + 4 an-2 =0.
Persamaan karakteristiknya adalah a2 + 4 a + 4 = 0
(a+ 2) (a + 2) = 0
Akar-akar karakteristik a1 = a2 = -2 , m = 2,
Oleh karena akar-akar karakteristiknya ganda, maka solusi homogennya berbentuk:
an(h) = (A1 nm-1 + A2 nm-2) a1n ,an(h) = (A1 n + A2 ) (-2)n
=======================================================================
4.Jika gambarnya tidak muncul dapat melalui link ini

=======================================================================
5. an = an – 2 – an – 1 untuk n > 2
a0 = 10 dan a1 = 5 Tentukan a2 dan a4.
Jawab :
an = an – 2 – an – 1
a2 = a2 – 2 – a2 – 1
= a0 – a1
= 10 – 5
a2 = 5

a4 = a2 – a3
= 5 – a2
= 5 – 5
= 0
=======================================================================
6. Tentukan solusi homogen dari:
bn + 2bn-1 – 8bn-2 = 0; dengan batas b0 = 4 & b1 = 3
a. 1(4)^n + 3(-2)^n
b. 2(4)^n + 2(2)^n
c. 1(-4)^n + 3(2)^n
d. 2(-4)^n + 2(-2)^n
Jawab:
Kita ubah dulu bn menjadi α maka
α² + 2α – 8 = 0
(α – 4) (α + 2)
α1 = 4 & α2 = -2 maka
an = A1a1^n + A2a2^n
= A1(4)^n + A2(-2)^n
b0 = 4 = A1(4)^0 + A2(-2)^0
4 = A1 + A2
b1 = -2 = A1(4)^1 + A2(-2)^1
-2 = 4A1 – 2A2
Proses eliminasi:
4   = A1   +   A2  | x2 | 8 = 2A1 + 2A2
-2 = 4A1 – 2A2 | x1 | -2 = 4A1 – 2A2 (dijumlah)
————- +
6 = 6A1 maka
A1 = 1
A2 = 3 sehingga
an = A1a1^n + A2a2^n
= 1(4)^n + 3(-2)^n
=======================================================================
7. Diketahui relasi rekurensi Sn = 2Sn-1 dengan syarat awal S0 = 1. Selesaikan untuk suku ke-n!
a. 2n
b. 4n
c. n
d. 2
Jawab:
Sn = 2Sn-1
= 2 (2Sn-2) = 22 Sn-2
= 23 Sn-3
= ………
= 2nS0
= 2n
=======================================================================
8. 3an – 5an-1 + 2an-2 = n² + 5
Diketahui : a₃ = 3 , a₄ = 3
Tentukan : a₅ = ?
Jawab
C0 = 3
C1 = -5
C2 = 2
K = 2
F(n) = n² + 5

Jika gambarnya tidak muncul dapat melalui link ini
=======================================================================
9. bn = bn – 2 + 2bn -3
b5 = 8, b4 = 5. Tentukan b7!
C0 = 1,  C1 = -1, C2 = -2, K = 2, f(n) = 0
b5 = 8, b4 = 5

b7 = -1/1 ((-1) bn – 2 + (-2)b7 – 3 – f(n))
= -1/1 ((-1) b7 – 2 + (-2) b7 – 3 f(n))
= -1 ((-1)(8) + (-1)(5) – 0)
= -1 (-8) + (-7)
= -1(-15)
= 15

=======================================================================
10.Tentukan solusi homogen dari relasi rekurensi b_n + b_n-1 – 6 b_n-2 = 0  dengan kondisi batas b₀ = 0 , b₁ = 1 !
Penyelesaian :
Relasi rekurensi tersebut adalah relasi rekurensi homogen, karena f(n)=0.
Persamaan karakteristik dari relasi rekursi b_n + b_n-1 – 6 b_n-2 = 0 adalah a²  +  a  – 6 = 0 atau (a+ 3) (a – 2) = 0 hingga diperoleh akar-akar karakteristik a₁ = -3   dan a₂ = 2.
Oleh karena akar-akar karakteristiknya berbeda, maka solusi homogennya berbentuk b_n^(h)  = A₁a₁ⁿ  +  A₂ a₂ⁿ Þ b_n^(h)  = A₁ (-3)ⁿ  +  A_{2 .} 2ⁿ.
Sehingga solusi homogen dari relasi rekursi tersebut adalah b_n^(h)  = (-3)ⁿ  +   2ⁿ